Matematik Yurdu

 Çözümsüz problemler

 

1Goldbach Kestirimi1742′de Goldbach, Euler’e yazdığı bir mektupta “2′den büyük her çift sayı, iki asal sayının toplamı ÅŸeklinde ifade edilebilir” önermesinin, ya doÄŸru olduÄŸunu ispatlamasını ya da bunu saÄŸlamayan bir örnek göstererek yanlış olduÄŸunu ispatlamasını istedi. Goldbach kestirimi olarak bilinen bu hipotezle asal sayılar dünyasına yeni bir heyecan geldi. Bu heyecan o gün bugündür tüm matematikseverleri sardı. Yine de henüz bir cevap bulunamadı.

Ayrıca, 2′den baÅŸlayarak her çift sayıya 3 sayısı (ki bu bir asal sayı) ekleyerek tek sayılar kümesi elde edilebildiÄŸine göre (örneÄŸin:5=2+3; 7=4+3; 9=6+3…) her çift sayı 2 asal sayının toplamı ise her tek sayı da üç asal sayının toplamıdır denilebilir. Bu ifade de zayıf (ya da tek) Goldbach kestirimi olarak bilinir. Henüz bunun da bir yanıtı yok.

2Asal Sayılardan Karışık

Asal sayılara ilişkin pek çok bilgi henüz gün ışığına çıkmadı. Bunun yanı sıra ortaya atılmış ama ispatlanmamış pek çok da kestirim var. İşte bunlardan birkaçı:

• n2 ve (n + 1)2 arasında daima bir asal var mıdır?

• İkiz Asallar: İkiz asallar yani aralarındaki fark 2 olan asallar sonsuz tane midir?

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43). ..

• Bugün hala sonsuz tane elemanı olduğu kesin olarak ispatlanmayan (ama öyle olduğu tahmin edilen) bir diğer küme de farkı 2n olan asal çiftlerinin oluşturduğu kümelerin hepsinin sonsuz tane eleman içerdiği sanısı.Bu kestirimi ortaya atarak problemi genel bir boyuta taşıyansa da Alphonse de Polignac (1849). Örneğin Kuzen asallar olarak bilinen aralarındaki fark 4 olan asal sayıların oluşturduğu küme sonsuz eleman içerir mi?

• (n2 +1) formunda yazılabilen sonsuz tane asal var mıdır?

• Fermat Asalları: 17. yüzyılda amatör matematikçi ünvanı ile bilinen Fermat asal sayılar konusuna oldukça önemli katkılarda bulundu. Bu katkılar arasında doÄŸru olduÄŸunu iddia edip ispatlayamadığı kestirimler de vardı. ÖrneÄŸin + 1 biçimindeki sayıların her n doÄŸal sayısı için bir asal verdiÄŸini iddia etti. Bu biçimdeki sayılara Fermat sayıları asal olanlara da Fermat asalları denir. Gerçekten de 5′e kadar tüm doÄŸal sayılar için asal deÄŸer veren ifadenin yanlış olduÄŸu ancak 100 yıldan fazla zaman sonra anlaşılabildi. n=5 için 232 + 1 = 4294967297 sayısının 641 ile bölündüğünün farkına varansa Euler oldu. Bugün ispatı yapılması beklenen önermelerden bir diÄŸeriyse “Fermat asalları sonlu tanedir” kestirimi. Bu ifadenin en güçlü gerekçesiyse ÅŸimdiye kadar sadece 5 tane Fermat asalının bulunmasıdır

• Mersenne Asalları: Fermat’ın sıkça fikir alışveriÅŸinde bulunduÄŸu çaÄŸdaşı Mersenne 2n - 1 ÅŸeklindeki sayılar üzerinde çalışıyordu. Mersenne sayıları (Mn) adı verilen bu sayıların baÅŸlangıçta n asal olduÄŸunda asal deÄŸer verdiÄŸi düşünüldü. Gerçekten de n=11′e kadar doÄŸru çalışan fikir 11′de asal olmayan bir deÄŸer alınca bu düşüncenin de yanlış olduÄŸu anlaşılabildi ama 2n - 1′in asal olması için n’nin asal olması gerektiÄŸi ÅŸartı doÄŸrudur. Yine de matematikçiler bu sayıların peÅŸini bırakmadı. Sonsuz tane olup olmadıkları hala merak edilen Mersenne sayılarından Aralık 2005 itibariyle 43.sü bulundu.

3Mükemmel Sayı Sorusu

Mükemmel sayı kendisi haricindeki tüm çarpanlarının toplamı kendisini veren sayıdır. Örneğin 6 bir mükemmel sayıdır çünkü kendisi haricindeki çarpanları yani 1, 2 ve 3 toplanınca kendisini verir: 1 + 2 + 3 = 6. Diğer örneklerse 28, 496, 8128 şeklinde gidiyor. Şimdiye kadar hiç tek mükemmel bir sayıya rastlanmamış. Merak edilen böyle bir sayının varolup olmadığı. Eğer vardır diyorsanız bu sayıyı, saklandığı yerden bulup çıkarmalı, ya da olmadığını iddia ediyorsanız bunu ispatlamalısınız.

4Palindromik Sayılar

Kapak, kütük, sus, yay, kepek kelimeleri ilginç bir ortak özellik ile dikkat çekiyor: düzden ve tersten okunduğunda aynı. Benzer bir yapıya sahip olan palindromik sayılar da düzden ve tersten okunduğunda aynı olan sayılardır:
1991, 10001, 12621, 79388397, 82954345928.
Bu alandaki açık soru ise şöyle:

Hem asal hem de palindromik olan sonsuz tane asal sayı bulunabilir mi?

5Collatz Problemi

Önce bir pozitif tamsayı seçin. Bu sayıya yapılcak işlem şu:

Sayı tekse 3 katını alıp 1 ekleyin. Sayı çiftse 2′ye bölün.

Aynı iÅŸleme çıkan sayıya uygulayın. En sonunda elde edeceÄŸiniz sayı1′dir.

Örneğin 8 sayısını ele alalım:

8-(2′ye böl)-4-(2′ye böl)-2-(2′ye böl)-1

5-(3 katını al 1 ekle)-16-8-4-2-1

Seçtiğiniz sayıya dikkat edin. Örnek olarak 27 sayısını seçtiyseniz 1 sayısını bulmanız için 112 basamak ilerlemeniz gerektiriyor. Tabi kaç basamak alacağı sayının büyük veya küçük olmasıyla ilgili değil. Sadece bu algoritmanın her zaman 1 cevabını verdiğini ispatlamanın peşinde koşmayın. Unutmayın ki sonunda 1 vermeyen bir sayı da varolabilir ve bu da, sorunun cevaplandığı anlamına gelir.

6Bilindiği gibi asal sayılar düzenli bir dağılıma sahip değiller. Alman matematikçi G.F.B. Riemann (1826 - 1866) asal sayıların dağılımlarının Riemann-Zeta adını verdiği bir fonksiyon ile çok yakından ilişkili olduğunu gözlemledi. Söz konusu olan fonksiyon şöyle:

f(X):1+1/2s+1/3s+1/4s+……

Bu fonksiyon s’nin 1 dışındaki her kompleks sayı deÄŸeri için tanımlıdır.

Riemann Hipotezine göre bu fonksiyonun, (s) = 0 ifadesini sağlayan tüm önemsiz olmayan s değerleri, reel kısmı ½ olan düşey doğru üzerine düşer (bu doğruya kritik doğru deniyor). İlk 1 500 000 000 değer için bu doğruluk tespit edilmiş olsa da asıl istenen, söz konusu tüm değerler için doğru olduğunun ispatlanması. Bu sorunun başında 1 milyon dolar ödül konulduğunu unutmayın!