Matematik Yurdu

Fraktallar da bir çeşit örüntüdür.Fakat daha önce gördüğümüz örüntülerden farklıdır.
Peki fraktal ile normal örüntü arasındaki fark nedir?

• Fraktallar virüs gibidir, her bir parçasından devamlı benzer parçaları oluşur.Normal örüntülerde ise benzer parçalar vardır fakat bu parçalar birbirinden oluşmaz. Bir şeklin fraktal olup olmadığını anlamamızı sağlayan en önemli nokta budur.

Fraktalların içinde veya üzerinde oluşturulan şekiller birbirinin küçültülmüş veya büyütülmüş şekilleridir.

Genellikle küçülürler…

Fraktala en çok verilen örnek eğrelti otudur.

Eğrelti otunun her yaprağının üzerinde yine küçük küçük yapraklar vardır.

Onluk sistemin bir üstünlüğü, sıfır rakamı için ayrı bir işaretin (sembolün) bulunmasıdır. Sıfır işaretinin, gerektiğinde basamaklara (hanelere) yazılması gerekmektedir. Aksi halde, boş bırakılan basamak (hane) birçok yanlış anlaşılmalara sebep olur. Örneğin : Bugün, rakamla 407 şeklinde yazdığımız, dört yüz yedi sayısını, sıfır işareti kullanmadan, 4.7 veya 4 7 (4 ve 7 nin arası biraz boş bırakılarak) şeklinde göstermek mümkünse de, anlam bakımından birçok karşılıklara sebep olabilir.
Sıfır kavramını (fikrini) ilk olarak, hangi medeniyet içerisinde ve kim tarafından ortaya konulmuş (kullanılmış) olduğunda, kaynaklar hemfikir değildi. Bununla beraber, Eski Hintliler’de, milattan sonra 632 yılından itibaren sıfır için özel bir işaretin kullanılmış olduğunu, zamanımıza kadar intikal eden belgeler göstermektedir.
Eski Hintlilerden kalma kitabelerde (yazıtlarda) görülen, rakam ve işaretler, günümüzde “Hint-Arap sistemi” olarak adlandırılan sisteme göre benzerlik olduğunu, ve nümerik (terkiym) sistemin, o devirde kullanıldığını göstermektedir. Daha sonraki yıllara ait kitabeler, sayılarda, rakamın kendi zat’i değeriyle vaz’i (konum) değeri, (yani sayı içindeki anlam değeri) arasındaki bağıntının bilindiğini, sıfır anlamını veren, “0″ gibi bir işaret kullanıldığını da göstermektedir.
Sıfır için, ayrı bir özel işaretin bulunuşu ve basamak fikrinin ustaca kullanılışı, onluk sistemi (decimal), sadece matematiğin değil, ilim dünyasının, en elverişli sistemlerinden biri yapmıştır. Onluk sistemin bu hali için, Fransız matematikçi Pierre Siman Laplace (1749-1827), bu konuda “Dünyanın en faydalı sistemlerinden biridir.” demektedir.

Matematik gerçekten zor bir ders olsa bile eğer başarabileceğinize kendinizi inandırırsanız bu işi halledersiniz. Aksi takdirde bizim söylediklerimiz pek faydalı olamayacaktır.
Öğrenmenin ilk adımı kişinin bilmediğini fark etmesidir. Öyleyse öncelikli olarak matematik dersi bakımından kendinizin hangi durumda olduğunu belirlemelisiniz. Bunun için size bazı ölçüler verebiliriz:
“İşlem kabiliyetim az ve konuları anlayamıyorum.”
diyenlere ilk tavsiyemiz temel konuları çalışmalarıdır. Nasıl ki alfabenin harflerini bilmeyen kişi okuyamaz, yazamaz, matematiğin temel kurallarını bilmeyen öğrenci de matematik konularını anlayamaz. Öyleyse önce matematiğin alfabesi sayılan kurallar ve özdeşlikler öğrenilmelidir.
Bunun için rasyonel sayılar, sayılar ve işlemler, üslü ve köklü ifadeler, çarpanlara ayırma ve özdeşlikler konuları öncelikle öğrenilmelidir.
“İşlem kabiliyetim iyi; fakat konulara yabancıyım.”
diyen öğrencilerimize ilk tavsiyemiz bilgi eksiği olan konuların tam olarak öğrenilmesidir. İşlem kabiliyetinizin iyi olması, matematik konularını öğrenebileceğinizi gösterir. Vakit geçirmeden yapacağınız çalışma, hiç bilmediğiniz konuları çalışmak yerine bilgi eksikliğiniz olan konuların tam anlamıyla çalışıp öğrenmenizdir. Eğer konuları az çok biliyor ve konu üzerinde işlem yapabiliyorsanız, bu konuları tam olarak öğrenebilirsiniz demektir.
Yani önce kendinizi eksik gördüğünüz konuları ele alıp tam olarak öğrenin, daha sonra da hiç bilmediğiniz konuları çalışın.
“Konuları anlıyorum; fakat işlem kabiliyetim az .”
şeklinde durumunu tarif eden öğrencilerimize ilk tavsiyemiz bol bol soru çözmeleridir. Konuları anlayabilmeniz, alt yapınızın o konuyu öğrenmeye yeterli olduğunu gösterir. İşlem kabiliyetinin az oluşu yeterli düzeyde soru çözmemenizdendir. İşlem kabiliyetinizi geliştirmenizin en güzel yolu bol bol soru çözmektir. Bu sayede hem konuları pekiştirmiş hem de işlem hızı kazanmış olursunuz. Burada dikkat edilecek husus, yapılamayan sorular karşısında karamsarlığa düşüp de soru çözmeyi bırakmamaktır. Yapılacak iş, takıldığınız yerde bir bilene sormaktır.
Kısacası az antrenman yapan bir sporcunun durumuyla çok antrenman yapan bir sporcunun durumu aynı olmaz. Çok soru çözerek çok antrenman yapmış olacaksınız.
“İşlem kabiliyetim iyi, hem de konuları biliyorum; fakat çok yanlış yapıyorum.”
biçiminde yakınan öğrencilerimize ilk tavsiyemiz soruları dikkatle çözmeleridir. İşlem kabiliyetiniz iyi ve konuları biliyorsanız matematikle ilgili sorununuz çözülmüş demektir. Yanlış yapmamanın veya az yanlış yapmanın en güzel yolu bol bol soru çözmektir. Yalnız bu yapılırken daha sonra bu çözülen sorular değerlendirilmeli, nerelerde hatalar yapıldığı belirlenmeli, çalışarak giderilebilecekse bu hatalar giderilmeli; çalışarak giderilemeyecek cinstense bir bilenden yardım alınmalı, sonra da bu hatalara bir daha düşülmemeye çalışılmalıdır.
Geometri bölümüne nasıl çalışılır
Geometrideki konuları anlama ve o konu ile ilgili soru çözebilme de konuya tamamen hâkim olmaya bağlıdır.
Geometri, işlemden daha çok düşünme ve görmeye dayanır. Bunun yanında temel matematik konularını da iyi bilmek gerekir. Geometri konularına hâkim olmak için önce bilinmesi gereken formüller öğrenilmeli, sonra da çok soru çözülmelidir. Geometri soru çözmeye dayalı bir öğrenme metoduyla daha iyi kavranır. Soru çözerken de o soruda geçen teorem, kavram ve özellikler mutlaka öğrenilmelidir.
Geometride öğrencilerimizin en fazla yakındıkları nokta, ezberlenen formüllerin çabuk unutulmasıdır. Öyleyse formülleri ezberlemek yerine sık sık kullanarak vaktinizi ayarlayıp formülün elde edilişini öğrenerek kalıcılığı sağlayabilirsiniz.
Ayrıca şekil çizimine önem vermeli, soruları şekil çizerek çözmeye çalışmalısınız. Şekilli soruları ise şekil üzerinde çözmeyi denemelisiniz.
Konularla ilgili kendiniz de soru hazırlamaya çalışırsanız konuları daha iyi ve kalıcı öğrenebilirsiniz.
Genel öneriler
Bütün bunların yanında matematik dersinin çok iyi anlaşılabilmesi için söyleyeceğimiz birkaç genel kuralın sizin için altın değerinde olduğu inancındayız.

• Öğretmenlerinizi dinlerken düzenli notlar tutunuz.
• Dersten sonra eve gittiğinizde defterinizdeki notları temize çekin veya tekrar yazarak çalışın.
• Konuyu anlamadan sorulara geçmeyin, konuyu anladığınıza inandığınızda önce çözümlü sorulardan, sonra da test sorularından bir miktar çözün.
• Soru çözerken problemlerde verilenleri ve istenenleri düzenli olarak bir kenara yazın.
• Soru çözerken sizi sonuca götürecek teorem ve özdeşlikleri belirleyin.
• Verilenleri işlem sırasına göre formül ya da teoremlere uygulayın.
• Sonucu bulun ve sağlamasını yapın.

Matematik dersini öğrenmek bisiklete binmeyi öğrenmek gibidir. Yaparak ve yaşayarak öğrenilir.
Bu nedenle bol bol işlem yapın, eksiklerinizi tespit edin ve giderme yollarını araştırın.

• İlk 11 mükemmel sayı :

6, 28, 496, 8128, 130816, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128, 2658455991569831744654692615953842176, 191561942608236107294793378084303638130997321548169216

Mükemmel Sayı Sorusu,Mükemmel sayı kendisi haricindeki tüm çarpanlarının toplamı kendisini veren sayıdır.Örneğin 6 bir mükemmel sayıdır çünkü kendisi haricindeki çarpanları yani 1, 2 ve 3 toplanınca kendisini verir: 1 + 2 + 3 = 6. Diğer örneklerse 28, 496, 8128 şeklinde gidiyor. Şimdiye kadar hiç tek mükemmel bir sayıya rastlanmamış.

 Mükemmel Sayılar, tam kesin olmamakla birlikte,eski Mısır döneminde üzerinde çalışılmış sayılardır.Eğitiminin ciddi bir bölümünü Mısır’da yapmış olan Pytagoras ve ardıllarının mükemmel sayılar üzerinde çalıştıkları kesin. Mükemmel sayıların ilk dördü( 6, 28, 496,8128), o zamanlar bilinen yegane mükemmel sayılardı. Bu konuda yazılı kayıtlarda ilk sonuca MÖ 300′lerde Euclid’ in Elements adlı eserinin IX. Kitap’ında rastlanmaktadır. Orada şöyle diyor:

İstediğimiz kadar sayıyı 2′ye katlayarak toplayalım. Toplam asal sayı olduğunda, bu asal sayıyı son sayıyla çarpalım, çıkan sayı mükemmel sayıdır.

Söyleneni örneklerle gösterelim:1+2=3; 3 asal sayı; 3×2=6.; 6 mükemmel sayı. Ya da 1+2+4=7; 7 asal sayı; 7×4=28 mükemmel sayı. Veya 1+2+4+8+16=31 asal sayı; 31×16=496 mükemmel sayı.

Genel kural olarak; Eğer herhangi bir k>1 için 1+2+4+…+2k-1 =2k-1 asal ise; o zaman 2k-1(2k-1) bir mükemmel sayıdır. MS 100 civarında, Nicomachus diğer şeylerin yanında, ispat gereği duymadan, mükemmel sayılarla ilgili şu özellikleri sıralıyor:

1- N.ci. mükemmel sayının n basamağı vardır.(1. Sayı 6, 2. sayı 28, 3.sayı 496, 4. sayı 8128) dikkat edelim ki henüz 5. mükemmel sayının kaç olduğu bilinmiyor. 2- Bütün mükemmel sayılar çifttir(sizin iddianız bu özelliği yok ediyor) 3- Bütün mükemmel sayılar, sırasıyla 6 ve 8 ile biterler). 4- Herhangi bir k>1 için 2k-1 asal ise 2k-1(2k-1) bir mükemmel sayıdır ve mükemmel sayıların hepsini üreten bir algoritmadır. 5- Sonsuz sayıda mükemmel sayı vardır.

Takip eden yüzyıllarda mükemmel sayılar konusuna gönül veren birçok matematikçi oldu. Yazılı kayıtlarda 4.’den sonraki mükemmel sayılara Arap matematikçi İsmail İbn İbrahim İbn Fallus’da(1194-1239) rastlıyoruz. Verdiği 10 mükemmel sayının ilk 7 tanesi doğru, 3 tanesi hatalı. Nihayet 1536′da İtalyan matematikçi Pietro Cataldi, 211-1 sayısının asal olmadığını(23.89=2047) gösterdi. Bir asal sayı olan 213-1=8191 ‘dan hareketle, 212(213-1)=33550336′nın bir mükemmel sayı olduğunu da buldu. 5. mükemmel sayı 8 basamaklıydı. Nicomuchos’un iddialarından 1., 3., 4. zamanla çürütüldüler. 6. sayı 1555′de J.Scheybl tarafından bulundu ise de 1977′ye kadar farkına varılmadığından mükemmel sayılar konusundaki gelişmelere katkısı olmadı.. 6. mükemmel sayıyı tekrar ve Scheybl den bağımsız olarak bulan gene Cataldi(1603) idi: 216(217-1)=8589869056. Bu sıra 8 de olmasına rağmen tekrar 6 ile biten bir mükemmel sayıydı. Cataldi 7. mükemmel sayıyı da bulan matematikçi oldu: 218(2191)=137438691328. Mükemmel sayılarla ilgili çalışan matematikçilere Pierre de Fermat, Rene Descartes ve Marin Mersenne gibi ünlüleri de dahil edelim. Bu çalışmalar sırasında Mersenne Asalları’nın da bulunduğunu, Fermat’nın küçük teoremi adıyla ünlü teoremin bu çalışmaların eseri olduğuna değindikten sonra, 8. mükemmel sayıyı bulan Euler’e gelelim: Euler, kendinden önceki matematikçilerden farklı olarak, tek mükemmel sayıların da olabileceğini ileri sürdü. Günümüze kadar bu konuda yapılmış olan çalışmalar, ne bu iddianın doğruluğunu ne de yanlışlığını ispatlamaya yetmemiştir. Günümüze kadar 44 adet mükemmel sayı(hepsi çift, hepsi 6 veya 8 ile bitiyor-ama sırayla değil) bulunmuştur. 44. mükemmel sayının 19 milyondan fazla basamağı vardır. Mükemmel sayıların tarihi kısaca böyle. 45.cı mükemmel ve ilk tek için sayınızı bekliyoruz. Bu arada söylemeden geçmeyelim; Batı’da mükemmel sayılara gösterilen tutkunun gerisinde ilk sayı olan 6′nın tanrının dünyayı 6 günde yaratmış olması inancı ve Ay ayının 2. sayı kadar, yani 28 gün olması da var.

Günümüzde matematik, ardışık soyutlama ve genellemeler süreci olarak geliştirilen fikirler (yapılar) ve bağıntılardan oluşan bir sistem olarak görülmektedir Yukarıdaki tanımda üç husus dikkati çekmektedir. Bunlardan biri matematiğin bir sistem olduğu, diğeri yapılardan ve bağıntılardan (ilişkilerden) oluştuğu, üçüncüsü de bu yapıların ardışık soyutlamalar ve genellemeler süreci ile oluşturulduğudur. O halde matematik insan tarafından zihinsel olarak yaratılan bir sistemdir. Bu durum matematiği soyut hale getirir.

Genel olarak, soyut kavramların kazanılması zordur. Matematiğin öğrencilere zor gelmesinin sebebi belki burada yatmaktadır. Ancak matematik kavramları,öğretim sırasında somutlaştırılarak ve somut araçlar kullanılarak bu zorluk giderilebilir; en azından azaltılabilir.

Matematikteki bağıntılar, yapılar arasındaki ilişkilerdir ; yapıları birbirine bağlar.matematik öğretimine başlamadan önce matematiğin bu yapılarının ve ilişkilerinin tanınmasında; daha iyi bir deyişle , “Matematik” adı verilen sistemin genel olarak tanınmasında fayda vardır; çünkü öğretim faaliyetlerinin planlanmasında ve planın uygulanmasında bu yapının öncelikle göz önünde bulundurulması gerekir. Matematiğin yapısında elemanlar ve önermeler vardır. Elemanlar, matematiğin yapı taşlarıdır.

Matematiğin bu yapısı öğrencilere ilkokuldan itibaren onların seviyelerine uygun olarak sezdirilmeli; öğrencilerde, matematiğe değer verme, onu takdir etme duyguları geliştirilmelidir.

Yapısı hakkında kısa açıklama gösteriyor ki, matematikte keşfetme ve yaratma süreci önemlidir. İlköğretimde, öğrencilerde keşfetme sürecinin geliştirilmesi,matematik derslerinin önemli hedefleri arasında yer almalı; bu sürecin geliştirilmesi için gayret gösterilmelidir.

11matD.1yb

11matD 1.yazılıA